代數

在《資訊工程系》當中，我們通常必修《線性代數》，但是在很長的一段時間裏，我其實搞不清楚到底甚麼是《代數》。

狹義來說，代數學起源於《算術》，是研究《加減乘除》運算的一門學問：

廣義來說、可以參考維基百科英文版對代數的解釋：

In its most general form, algebra is the study of mathematical symbols and the rules for manipulating these symbols

我認為這個《廣義解釋》比較清楚的描繪了代數的範圍，根據這個解釋，代數學是研究數學符號、以及操作這些符號之規則的學問。

數學的領域很大，但是大致第一層可以約略區分為《代數、幾何、分析、統計》等等領域。

在數學分支中，代數學應該是和電腦之間關係最密切的一門學問了，因為電腦基本上也是操弄數字以完成工作的一項工具。

而幾何大概是和《電腦距離最遠》的一項數學，因為像《圓形、直線、曲線》等等圖形的表達，通常是電腦不太擅長的工作。因此幾何證明對電腦而言，有點格格不入的感覺，雖然電腦其實也可以用來做幾何證明的！

算術

從小學一年級開始，我們就學習《加減乘除》等概念，一直到四年級以之前，都是以《算術》為數學的主軸。

《算術》大概可以說是最實用的數學了，這是一門你到菜市場買菜都可以用得到的數學，而且每天都會用到！

我們可以用電腦輕易地進行一些算術的動作，例如用 node.js+javascript 進行下列操作：

D:\Dropbox\gitbook\rlab\code\algebra>node
> 3+5
8
> 7*4
28
> 25*8
200
> 200/5
40
> ((3-5)+20/4)*3
9

以上的算術看來簡單，但是數學從古代演化到今天，算術其實經歷過長期不斷地改良與演進。

在古代數學史上，兩河流域的巴比倫在從公元前3000年開始就發展出了獨特的數學體系，採用六十進位制，詳情請參考《維基百科：巴比倫數學》。

我們現在所用的阿拉伯數字，其實是印度的婆羅米人發明的，這種很容易撰寫的十進制數字，對數學的發展幫助很大，這是現代人很難想像的。

我們現在所使用的阿拉伯數字 0123456789，屬於歐洲式的寫法，標準的阿拉伯寫法是 ٠١٢٣٤٥٦٧٨٩，更詳細的內容請參考《維基百科:印度-阿拉伯數字系統》。

阿拉伯數字採取位值法，高位在左，低位在右，從左往右書寫。藉助一些簡單的數學符號（小數點、負號等），這個系統可以明確的表示所有的有理數。

初等代數

等到小學生已經學會《加減乘除》這些算術了，我們的數學教育開始慢慢導入《變數》的觀念。

但是變數的概念並不容易，不只我覺得如此，康熙學代數時也發生過類似的現象，當時《傅聖澤》為了教康熙 $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ ，於是寫下：

（甲+乙）（甲+乙）= 甲甲+二甲乙+乙乙

康熙看了很頭大，於是寫下了：

諭王道化：朕自起身起身以來，每日同阿哥等察【阿而熱巴拉新法】，最難明白，他說比舊法易，看來比舊法愈難，錯處易甚多，騖突處也不少 ...... 還有言者：甲乘甲、乙乘乙，總無數目，即乘出來亦不知多少，看起來想是此人算法平平耳。（參考【掌故叢編】二輯【清聖組諭旨二】）

詳情請參考：《康熙皇帝與符號代數》一文！

但是康熙皇帝的數學造詣其實蠻高的，這點可以參考《康熙皇帝的數學事業》一文，康熙重用《南懷仁》並向他學習數學，南懷仁為了交康熙數學，還找了一堆人來翻譯《幾何原本》。康熙也向比利時的神父《安多》學習了《數學概要》這本書。

連《萊布尼茨》都從《白晉》的信中得知康熙精通數學，結果送了一台二進位計算器給康熙。

這樣一個對數學很厲害的皇帝，卻也被《變數的概念所難倒了》，可見代數對古人來講，並不簡單！

言歸正傳，當我們學會變數的概念之後，老師就會引入《方程式求解》的問題，像是《國中一年級》的《一元一次方程式、二元一次方程式》求解問題等等，像是以下範例：

$\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1.\end{cases}$

多元一次方程組的求法，會衍生出《線性代數》這門以《矩陣》為核心的數學，這對電腦非常的有用，像是 matlab 這樣的科學計算軟體，就是 matrix laboratory 的簡稱，其設計完全是以《矩陣運算》為核心而建構出來的，我們將在後續的章節專門探討此一主題。

中學時學校會進一步教《一元二次方程式》的求解方法與公式，其公式如下：

$ax^2+bx+c=0$ 的公式解為 ${-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$

有了這樣的公式，我們可以很輕易地寫出一個程式，求解一元二次多項式的根。

檔案： root2.js

function root2(a,b,c) {
    var t = b*b-4*a*c
    if (t < 0) throw Error('沒有實根');
    var t2 = Math.sqrt(t);
    return [(-b+t2)/(2*a), (-b-t2)/(2*a)];
}

console.log("root of 1x^2+4x+0=", root2(1,4,0));

執行結果：

D:\Dropbox\gitbook\rlab\code\algebra>node root2
root of 1x^2+4x+0= [ 0, -4 ]

古巴比倫留下的陶片顯示，在大約公元前2000年（2000 BC）古巴比倫的數學家就能解一元二次方程了。巴比倫人並非求出通用的公式，而是針對某些特定的問題求解，詳情請參考《維基百科:巴比倫數學》。

後來、公元前300年左右古希臘的歐幾里得、公元200年左右亞歷山大城的丟番圖，公元七世紀波斯的花拉子米等人也都研究過求且方程式的問題。

《丟番圖》是第一個將符號引入代數的數學家，並且提出了《丟番圖方程》和《丟番圖問題》，因此被稱為《代數學之父》。

在丟番圖的墓誌銘上寫著：

丟番圖的一生，六分之一是幼年時期，青少年時期占了十二分之一，又過了七分之一才結婚。5年後有了兒子，不過兒子比他早 4 年逝世，兒子一生歲月只有的一半

連人死了都還要出題給人猜，真的是個可怕的數學家阿！

歷史講到這裡，讓我們言歸正傳，回到《求根公式》上，一元二次方程式的求根公式並不難，只要代入公式立刻可以求得根式解答，於是早期的數學家當然會想，那《三次、四次、五次、六次、....》多項式有沒有求解公式呢？

但是這個問題並不容易回答，三次方程公式解與四次方程公式解的問題直到1520年時才由塔爾塔利亞與卡爾達諾等人發現，其解法如下：

三次方程式的公式解

一元三次方程式： $x^3+ax^2+bx+c=0$ 公式解的求法，令 $y=x+a/3$ ，如此可將上式改寫為

$y^3+3py+2q=0$ 其中的 p, q 定義如下：

$2q={2a^3 \over 27}-{ab \over 3}+c$ , $3p=b-{a^2\over3}$

然後可以用 $D=p^3+q^2$ 作為是否有實根的判別式， $D \leq 0$ 時三個根都是實根。

得到的解公式如下：

$y_1=u_+ +u_-$
$y_2=\rho_+u_+ + \rho_-u_-$
$y_3=\rho_-u_+ + \rho_+u_-$

其中的 $u_\pm=\sqrt[3]{-q\pm\sqrt{D}}$ , $\rho_\pm = {1 \over 2} (-1\pm i\sqrt{3})$

四次方程式的公式解

一元四次方程式： $x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ 公式解的求法，令 $y=x+a/4$ ，如此可將上式改寫為

$y^4+py^2+qy+r=0$ 其中的 p, q, r 定義如下：

詳細解法請參考維基百科:四次方程。

代數基本定理

通常在中學裏老師會告訴我們《代數基本定理》的內容，但是不會給出證明。

代數基本定理：方程式 $p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0=0$ 至少有一個複數根。

當我們知道至少有一個根之後，就可以用《遞迴方式》的《數學歸納法》證明該方程式恰好有 n 個複數根。

換句話說： $p(x)=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$ 是成立的，也就是 n 次多項式可以完全被分解。

高斯一生總共對《代數基本定理》給出了四個證明，其中第一個是在他22歲時（1799年）的博士論文中給出的。高斯給出的證明既有幾何的，也有函數的，還有積分的方法。高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性，開創了關於研究存在性命題的新途徑。

不過、代數基本定理只告訴我們複數根是存在的，但是並沒有說《存在固定的公式可以計算出這些複數根》。

既然代數基本定理告訴我們 n 次多項式可以分解成 n 個一次式的乘積，也就是 $p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ $=(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$ 那麼我們就可以得出以下的《韋達定理》。

韋達定理

韋達定理： $a_{n-1}=-e_1, a_{n-2}=e_2, ...., a_0=(-1)^ne_n$

其中： $e_1=\sum_i x_i =x_1+x_2+...+x_n$ $e_2=\sum_{j<k} x_j x_k = x_1x_2+x_2x_3+...+x_{n-1}x_n$ $e_3=\sum_{j<k<m} x_j x_k x_m = x_1x_2x_3+x_1 x_2x_4+...+x_{n-2}x_{n-1}x_n$ ... $e_n=x_1x_2...x_n$

代數數與超越數

根據上述的《代數基本定理》，n 次多項式有 n 個根 (含重根)，那麼、是否有《某些數》不屬於任何《有理係數多項式》的根呢？

$p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0=0$

更精確地說，假如在上述方程式中，所有係數 $a_i$ 均為有理數，也就是 $a_i=p_i/q_i$ ，那麼請問是否有某些數不是任何《有理係數多項式》的根呢？

這個問題的答案是肯定的，因為像是 $\pi,e$ 等數，就不適任何《有理係數多項式》的根，這種數稱為《超越數》(Transcendental Number)。

而那些不是超越數的數，也就是那些是《有理係數多項式》的根的數，就稱為《代數數》(Algebraic Number)。

五次方程式的公式解

如上所述，《二次多項式》的公式解如下為 $x = \frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$ ，《三次多項式》和《四次多項式》也有公式解，雖然解的形式越變越複雜，但是我們有辦法一直往上，寫出五次，六次，七次一直到 n 次多項式的公式解嗎？

很可惜的，這件事情已經有人證明是做不到的了，證明的人是阿貝爾和伽羅瓦，他們分別利用群論的方式，證明了而五次以上的多項式沒有公式解，詳情請看下列連結：

代數

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